¿Qué es base ortonormal?

Una base ortonormal es un conjunto de vectores en un espacio vectorial que son mutuamente ortogonales entre sí y tienen una longitud unitaria. Esto significa que el producto escalar entre cualquier par de vectores de la base es cero, y la norma o longitud de cada vector de la base es igual a 1.

Formalmente, en un espacio vectorial, una base ortonormal es un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} tales que:

• Los vectores son mutuamente ortogonales: el producto escalar entre cualquier par de vectores vi y vj, con i ≠ j, es cero.
• Los vectores tienen una longitud unitaria: la norma del vector vi es igual a 1 para todo i.

Una base ortonormal es especialmente útil en el contexto de espacios vectoriales con un producto escalar definido, como el espacio euclidiano. En estos espacios, cualquier vector puede descomponerse en una combinación lineal de los vectores de la base ortonormal de manera única.

La existencia de una base ortonormal está garantizada en espacios vectoriales finitamente generados y espacios de Hilbert, que son espacios vectoriales completos con un producto escalar definido.

Las bases ortonormales se utilizan en diversas áreas de las matemáticas y la física, como el análisis de Fourier, la teoría cuántica y el procesamiento de señales. Ofrecen una manera conveniente de representar y manipular vectores en un espacio vectorial de manera más estructurada y fácilmente interpretable.